Relativismo e logica

Il '900 è purtroppo finito, e nel nuovo secolo sembra esserci sempre meno spazio per il buon vecchio relativismo. Il '900 è stato la culla del relativismo, inteso come movimento culturale che ha avuto la sua influenza su molteplici discipline, dalla matematica, alla fisica teorica, alla logica, alla letteratura, all'arte figurativa.

Mi piace qui ricordare uno dei miei eroi personali del '900, il logico matematico Kurt Gödel, forse il più grande logico di tutti i tempi. E' il mio eroe per alcuni motivi. Innanzitutto era un matematico, e io ho una particolare predilezione per la matematica. Secondo, era un pò matto (soffriva di manie di persecuzione e altri disordini psicologici). Era anche ingenuamente matto. Secondo un aneddoto leggendario, al momento di prendere la cittadinanza americana, accompagnato dal buon Albert Einstein, si mise a disquisire con il giudice che esaminava la sua conoscenza della costituzione di un "baco logico" presente nella costituzione stessa che avrebbe permesso ai democratici Stati Uniti d'America di trasformarsi legalmente in una dittatura (*) (**).

Ma il principale motivo per apprezzarlo è il suo risultato scientifico più importante e conosciuto: il teorema di incompletezza che porta il suo nome. Non voglio annoiarvi con i particolari tecnici, quindi cercherò di spiegarvi l'idea che sta dietro prendendo a prestito materiale dall'ottimo "Gödel, Escher e Bach: un'eterna ghirlanda brillante", di Douglas Hofstadter.

Premessa: avete presente il paradosso del mentitore? Esso consiste nella seguente frase: "in questo momento sto mentendo". Tale frase non può essere considerata né vera, né falsa. Un'altra versione più semplice è la seguente:

Socrate: "Platone dice il falso"
Platone: "Socrate dice il vero"

Se assumiamo la prima frase come vera, la seconda risulta vera, e come conseguenza la prima risulta falsa. Frasi del genere sono quanto meno "fastidiose" nella matematica formale. Esse non possono essere dimostrate vere, né false. Bisognerebbe evitare che cose del genere si "infilino" in sistemi matematici formali. Fine della premessa.

All'inizio del '900 il matematico positivista David Hilbert cercava di assiomatizzare tutta la matematica. Egli cercava di arrivare a un sistema completo e coerente, con delle basi solide, a partire dal quale fosse possibile costruire il resto della matematica.

La fisica aveva già avuto i primi sentori dell'avvicinarsi della rivoluzione: la teoria della relatività era alle porte. Ma la matematica è scienza astratta e interamente costruita nella mente dell'uomo. Era quindi più che plausibile, anzi era altamente desiderabile che la matematica poggiasse su solidissime basi logiche. La matematica deve essere scienza certa! Da certe premesse, si deve arrivare sempre a conclusioni certe. I matematici cercavano quindi di selezionare un insieme minimo di assiomi iniziali a partire dai quali tutto discendesse automaticamente.

Per chi si ricorda della matematica delle scuole medie: i primi cinque assiomi di Euclide sono le basi su cui è costruita tutta la geometria euclidea, comprese le cose più astruse e difficili, le costruzioni geometriche più complicate. Se si cambia uno degli assiomi, si ottengono altri tipi di risultati (ad esempio le geometrie non-euclidee).

I matematici cominciarono a individuare nell'aritmetica dei numeri naturali la miglior candidata per fare da base al resto della matematica. E in fondo cosa c'è di più elementare dell'aritmetica? Contiamo con le nostre dita fin da piccoli. I numeri interi sono la cosa più semplice ed elementare che possiamo immaginare. Partendo da 0 e 1, e aggiungendo le operazioni di somma e moltiplicazione, possiamo costruire tutti gli interi. Con pochi altri assiomi costruiamo tutta l'aritmetica (il sistema formale corrispondente viene anche detto aritmetica di Peano).

E che fa il nostro eroe? con il suo teorema di incompletezza, ci dice che un sistema formale "semplice" come l'aritmetica può contenere affermazioni che non sono né vere né false, più o meno come il paradosso del mentitore. Ovvero, ci sono affermazioni (teoremi) che non possono essere derivate automaticamente dagli assiomi. Inoltre, se le assumiamo vere (cioè se le aggiungiamo al sistema di assiomi), giungiamo ad una contraddizione. Idem se le assumiamo false.

Questo risultato, in fondo semplice, distrusse il sogno di fondare tutta la matematica a partire da un sistema semplice come l'aritmetica. Gödel dimostrò anche l'incompletezza della teoria assiomatica degli insiemi. L'influenza che ebbe sulla matematica, e ancora di più sull'informatica, è enorme.

Cosa ha a che fare Gödel con il relativismo? nel distruggere il progetto di un formalismo universale per la matematica, in un certo senso egli rese la matematica una scienza relativa: non tutto è riconducibile ad un sistema "assoluto" di riferimento, a partire dal quale costruire il nostro castello di astrazioni. Una cosa in fondo semplice, basilare ed astratta come l'aritmetica, contiene in se il germe del paradosso.

Per questo motivo, ogni tanto nel tempio astratto della mia mente, accendo un cero virtuale al grande Kurt.